【中学１年生から受験生まで必見！】素因数分解を完全攻略する方法

2024.10.03

「素因数分解」と聞いて難しく感じる人も多いのではないでしょうか？

素因数分解は、整数分野の土台となる重要な内容です。
中学1年生で学ぶ範囲ですが、入試にも頻出されるのでしっかりと理解しておくことが大事です。

そこで今日は、素因数分解のやり方について詳しく解説していきます。
受験に出題されるような応用問題についても取り上げていますので、受験生はぜひ取り組んでみてください！

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素因数分解とは？

素因数分解とは
ある正の整数を「素数」の掛け算で表すこと
です。

これだけだとよくわからない人のために、

素数とは何か？
について説明しますね。

素数とは何か？

素数とは
2以上の自然数で、正の約数が1とその数のみ
のことをいいます。

例えば、『5』を考えてみましょう。

5は2以上の自然数。
そして、5の約数は『1』と『5』のみ。

つまり、この2つの定義に当てはまるので、5は素数であると言えます。

では、『8』で考えてみましょう。

8は2以上の自然数。
でも、8の約数は『1』と『2』と『4』と『8』の4つ。

つまり、8は素数ではないと言えます。
こうした、1 より大きい自然数で素数でないものを『合成数』と言います。

素数を覚えておくと便利！

素数は無限に存在しますが、1～100までの数に存在する素数は

2・3・5・7・11・13・17・19・23・29・31・37・41・43・47・53・59・61・67・71・73・79・83・89・97

の25個あります。ただ、すべて覚える必要はありません。
中学校レベルの素因数分解であれば、29までの素数は覚えておきましょう。

素因数分解のやり方を徹底解説

では実際に、素因数分解のやり方を解説していきます。

素因数分解はきちんと理解して使えるようになれば、因数分解や平方根といった問題で活躍してくれる便利なやり方です。
ここできちんと使い方を学び、活用していきましょう！

素因数分解のやり方

素因数分解をする時は、一番小さな素数から割れるか試していきましょう。
その素数で割れなくなったら、次に大きな素数で割っていきます。
割り算の答えが素数になるまで繰り返し素数で割っていきましょう。
最後に、割り算に使用した素数を、すべてかけ算の形で書き出します。
同じ素数は『指数』を使ってまとめます。

では、実際に『24』という数字を元に素因数分解を行っていきましょう。

1. 『24』を素数の『2』で割る　→　24÷2＝12
2. 『12』を素数の『2』で割る　→　12÷2＝6
3. 『6』を素数の『2』で割る　→　6÷2＝3
4. 『3』は素数。なのでここでストップ！

すると、以下の式になります。

24=2×2×2×3=2³×3

では、少し数字を大きくして
『135』を素因数分解してみましょう。

1. 『135』は素数の『2』で割りきれない。なので次は『3』で割ってみる。
2. 『135』を素数の『3』で割る　→　135÷3＝45
3. 『45』を素数の『3』で割る　→　45÷3＝15
4. 『15』を素数の『3』で割る　→　15÷3＝5
5. 『5』は素数。なのでここでストップ！
すると、以下の式になります。

135=3×3×3×5=3³×5

素因数分解の実践

続いて素因数分解をどのようなところで使用していくのか解説していきます。
ここからは、中学3年生の分野なので内容が難しくなります。

素因数分解は以下の分野で利用します。

1. 因数分解
2. 平方根

この2点について詳しく解説していくので参考にしてみてください。

因数分解

因数分解とは、ある多項式を２つ以上の単項式や多項式の『かけ算（積）の式の形にかえる』ことです。

例としては
X²+4X-12＝(X+6)(X-2)
という形です。

これまでは、『展開』といって、カッコでくくられたものを分配法則を使ってカッコを外す勉強をしてきたと思います。
例えば、
(X+6)(X-2)＝X²+6X-2X-12＝X²+4X-12
というものです。

つまり、因数分解は『展開の逆』なわけです。

では、素因数分解が因数分解にどう影響があるのでしょうか。

因数分解をする際には解法がいくつかありますが、
その中に『共通因数』を取り出す解法があります。
この時に素因数分解の考えが必要になります。

共通因数とは、全ての項に共通する因数のこと。

例えば、
6X²+4X
の場合の共通する因数は『2X』。
式としては、
2X(3X+2)
となります。

では、
7X²+91X
の場合はどうでしょうか。

共通因数を考えていくのに、素数で共通の因数を考えていきます。

まずは『2』は共通因数になるでしょうか？
『7』も『91』も『2』では割り切れないので、共通因数ではありません。

では『3』ではどうでしょうか？
…

このように、『7』も『91』に関して素因数分解をしていくと、共通因数が見えてくるわけです。

この場合は『7』と『X』が共通因数となり
式としては
7X(X+13)
が答えとなります。

平方根

平方根とは、2乗する前の数のこと。
X²=aを成立させるxの値のことです。

例えば、『9』の平方根はなんでしょうか？

『3』ですよね。

でも、注意が必要です。答えはもう１つあります。
そう『-3』です。

(-3)²も同じく『9』になりますよね。

つまり、
『9』の平方根は±3
となります。

中学1年生で『累乗』というものを習いますよね。
この『累乗』が非常に重要になるので、しっかり抑えておきましょう。

では、素因数分解がこの平方根にどう関係があるかというと、
√（ルート）の中身を括りだす際に利用していきます。

平方根を問われる際にルートが使われますが、
ルートの中身を外に出して整数にする必要があります。

例えば、√9の場合、中身の『9』を素因数分解すると
3²
となります。

素因数分解の練習問題を解いてみよう！

最後の項目では、素因数分解の練習問題を解いていきましょう。
素因数分解は応用問題もありますが、ほとんどは慣れと公式を覚えるだけ。
とにかく練習が大切です！

早速、一緒に解いていきましょう。

素因数分解の練習問題１：20を素因数分解しなさい

1. 『20』を素数の『2』で割る　→　20÷2＝10
2. 『10』を素数の『2』で割る　→　10÷2＝5
3. 『5』は素数。なのでここでストップ！

式にすると…
20=2×2×5=2²×5

素因数分解の練習問題２：1302を素因数分解しなさい

4桁の数字であったとしても、素因数分解の手順は変わりません。

1. 『1302』を素数の『2』で割る　→　1302÷2＝651
2. 『651』は素数の『2』で割りきれない。なので次は『3』で割ってみる。
3. 『651』を素数の『3』で割る　→　651÷3＝217
4. 『217』は素数の『3』で割りきれない。なので次は『4』で割ってみる。
5. 『217』は素数の『4』で割りきれない。なので次は『5』で割ってみる。
…
このまま解いても、答えにはたどり着けますが、時間がかかりますよね。
こんな時に一気に楽になるテクニックがあります。

覚えておくと、素因数分解が一気に早くなるのでぜひ覚えておきましょう。

・2で割り切るには、偶数である場合。
・3で割り切るには、すべての位の数値の和が3の倍数。
・4で割り切るには、下二桁が4の倍数。
・5で割り切るには、一の位が0か5の場合。
・7で割り切るには、一の位が7で十の位以上が7の倍数。

この場合、『217』は、一の位が7で、十の位以上の数値が21で7の倍数。
つまり、7で割り切れるわけです。
では、先程の計算の続きをしてみます。

6. 『217』を素数の『7』で割る　→　217÷7＝31
7. 『31』は素数。なのでここでストップ！

式にすると…
1302=2×3×7×31
となります。